Родился в Курске в дворянской семье.
В 1895 г. окончил гимназию в Петербурге.
Физиологию изучал сначала в Харьковском университете, затем в Военно-Медицинской академии Санкт-Петербурга.
Под влиянием музыканта-виртуоза В.В. Андреева Б. Бабкин увлёкся игрой на народных инструментах, сочинял музыку на стихи А. С. Пушкина и А.А. Фета.
В 1896 г. опубликовал статью «Балалайка. Очерки её развития и усовершенствования».
В 1898-1900 гг. вышли отдельными изданиями его руководства по игре на балалайке.
В 1901 г. окончил учёбу с отличием и золотой медалью, полученной за дипломную работу «Влияние искусственных швов черепа молодых животных на их рост и развитие».
В 1901-1912 гг. Б. Бабкин работает ассистентом у И.П. Павлова в физиологическом отделе Института экспериментальной медицины (ИЭМ) и на кафедре физиологии ВМА.
В 1903 г. опубликовал первую работу по физиологии пищеварения "Латентная форма стеапсина".
К числу фундаментальных открытий того времени относятся его исследования влияния жиров и мыл на активность поджелудочной железы и участие желчи в активировании липазы.
В 1904 г. защитил диссертацию на тему «Опыт систематического изучения сложно-нервных (психических) явлений у собаки», за что ему присвоена учёная степень доктора медицины.
После защиты Б. Бабкин стажировался, в Германии в Берлинском университете у профессора Э. Фишера по биологической химии, у профессоров Т. Розенгеймда по неорганической химии, а в Физиологическом институте Лейпцигского университета у профессора Э. Геринга занимался электрофизиологией. В Италии на Неаполитанской Зоологической станции исследовал физиологические функции некоторых морских животных.
По результатам стажировки опубликовал, ряд статей по физиологической химии (совм. с Абдергальденом), сообщений об организации исследовательской работы на неаполитанской станции (1906), обзор по химии белков (1908).
По возвращении из-за границы Б.П. Бабкин продолжил научные изыскания в физиологическом отделе Института экспериментальной медицины, сосредоточившись, в основном, на функциях пищеварительных органов.
В 1907 г. избран приват-доцентом Военно-медицинской академии.
В 1912 г. занял вакантную должность адъюнкт-профессора Ново-Александрийского института сельского хозяйства и лесоводства под Варшавой.
В 1914 г. стажируется в Лондонском университете в физиологической лаборатории Э.Старлинга. Участвует в исследованиях по влиянию секретина на моторику пищеварительного тракта.
В 1915 г. — профессор Новороссийского университета в Одессе. Тогда же опубликовал капитальный труд «Внешняя секреция пищеварительных желез», принёсший автору широкую известность не только в России, но и за её пределам.
После Октябрьской революции 1917 г. и смены политической власти в Одессе устраивает на работу беженцев из Петербурга и Москвы, ходатайствует по делам лишенцев, безработных, уволенных преподавателей из учебных заведений. Собирает подписи об освобождении арестованных.
В 1921-22 гг. Б.П. Бабкин — ответственный работник Американской организации помощи голодающим. Открыто протестовал против насильственных мер по отношению к преподавателям университета со стороны Одесского губнаробраза.
В августе 1922 г. арестован ГПУ и приговорён к административной высылке из России вместе с 17 другими преподавателями Одесского университета.
Оказавшись в Константинополе, перебрался в Англию, где ему предоставили место в Лондонском университете в лаборатории Э.Старлинга, присвоили степень доктора наук и избрали членом-корреспондентом медицинского общества.
В 1924 г. Б.П. Бабкин переехал в Канаду, где принял кафедру физиологии в университете города Далхауз.
В 1928 г. получил приглашение в университет Мак-Гилла в Монреале на должность профессора-исследователя. Некоторое время исполнял обязанности заместителя директора и директора департамента физиологии.
Основным объектом приложения его творческих сил по-прежнему оставалась пищеварительная система животных и человека.
В последние годы, переключившись на опыты с нервной системой, Б.П. Бабкин внёс большой вклад и в познание механизма влияния головного мозга на различные функции организма.
Б.П. Бабкин — действительный член Канадского королевского общества, член Лондонского Королевского общества, член Германской академии естествоиспытателей (Леопольдина), президент Общества гастроэнтерологов «Сигма X» (США).
Б.П. Бабкин — почётный доктора права, награждён престижными медалями Фриденвальда (Канада) и Флавелла (США).
Занимаясь, педагогической деятельностью подготовил 36 докторов наук.
Когда началась Великая Отечественная война (1941-1945), Б.П. Бабкин передал в фонд помощи Красной Армии значительную сумму из личных средств.
В 1942 г. вышел в отставку, но продолжал сотрудничать с Монреальским неврологическим институтом, разрабатывая методы контроля слухового анализатора, с помощью которых оценивалась степень реабилитации лётчиков, находившихся на излечении в Монреальском неврологическом институте.
Скончался и похоронен в Монреале.
Соч.:
Два романса для балалайки и домры с надпис. текстом. СПб. Нотопечатня «Энергия», 1900;
Школа для балалайки. Ч. 2. Пьесы для шести балалаек, четырёх домр, гудка и свирелей. СПб. Пасербский, 1900;
Латентная форма сеапсина. СПб, 1903;
Материалы к физиологии лобных долей больших полушарий // Изв. Воен.-мед. академии, т. XIX, №1, 2, 16;
К характеристике звукового анализатора собаки // Тр. Об-ва рус. врачей в СПб., 1910, т. 77;
Секреторные и моторные явления в слюнных и панкреатических железах // Врач. дело, 1927, № 23, 24;
Secretory Mechanism of the Digestive Glands. New York, Hoeber, 1950; и др...
Ист.:
БСЭ, 3-е изд. М., 1970, т. 2, с. 502;
Биологи. Биографический справочник. Киев: Наукова думка, 1984. С. 33 – 34;
Квасов Д. Г. и Федорова-Грот А. К. Физиологическая школа И. П. Павлова. Л.: Наука, Ленинград. отд-ние, 1967. С. 38 – 40;
F. C. Macintosh. Phisiology at McGill: Notes for a History. 1983.